仿星環的幾何參數

未採用的幾何方案

原本我打算從波函數中尋找用來描述仿星環的函數，比如電子軌域或是電磁波：

但是這些模型的產物都是張量，要另外設定條件把線（面）畫出來是很困難的。

摸索的過程中也有朋友建議一個接近的函數：腎形線，可惜它中間不是貫穿的。

幾何參數

最後採用尺規作圖直接刻的方式，簡單暴力。

接著計算 Voxel 平面的長度，也就是經度線H(紅)

$$\begin{align} H &= 0.5(2\pi \cdot 0.5R) + 2\pi R\cdot 0.25 + 2 \pi (2R) \cdot 0.25 + 0.5(2\pi \cdot 0.5R) \\ &= 2.5 \pi R \end{align}$$

與 Voxel 平面的寬度；緯度線W（藍），取小圓周與大園周的平均值：

$$\begin{align} W &= \frac{2 \pi (R) + 2 \pi (2R)}{2} \\ &=3 \pi R \end{align}$$

因此平面面積為

$$A = H \cdot W = 7.5 \pi^2 R^2$$

等效仿星環

一個球體行星的表面積為：

$$S = 4\pi {R_s}^{2}$$

若要將仿星環近似已知行星的表面積；如地球，則可透過下述關係達成：

$$\begin{align} S &= A \\ 4\pi {R_s}^{2} &= 7.5 \pi^2 R^2 \\ \sqrt{\frac{1}{1.875 \pi}} R_s &= R \end{align}$$

地球的半徑為 6,371 km，因此等效仿星環的 R 為 2,625 km